NOIP 普及 2014 第一轮 第 35 题：最大子矩阵和：第 5 空

题目

（最大子矩阵和）给出 $m$ 行 $n$ 列的整数矩阵，求最大的子矩阵和(子矩阵不能为空)。
输入第一行包含两个整数 $m$ 和 $n$，即矩阵的行数和列数。之后 $m$ 行，每行 $n$ 个整数，描述整个矩阵。程序最终输出最大的子矩阵和。
（最后一空 $4$ 分，其余 $3$ 分，共 $16$ 分）
比如在如下这个矩阵中：

4  4
0 -2 -7 0
9 2 -6 2
-4 1 -4 1
-1 8 0 -2

拥有最大和的子矩阵为：

 9 2
-4 1
-1 8

其和为 $15$

3  3
-2 10 20
-1 100 -2
0 -2 -3

最大子矩阵和为 $128$

4  4
0 -2 -9 -9
-9 11 5 7
-4 -3 -7 -6
-1  7  7  5

最大子矩阵和为 $26$

#include <iostream>
using namespace std;
const int SIZE = 100;
int matrix[SIZE + 1][SIZE + 1];
int rowsum[SIZE + 1][SIZE + 1]; /* rowsum[i][j]记录第i行前j个数的和 */
int m, n, i, j, first, last, area, ans;
int main()
{
	cin >> m >> n;
	for ( i = 1; i <= m; i++ )
		for ( j = 1; j <= n; j++ )
			cin >> matrix[i][j];
	ans = matrix   ①;
	for ( i = 1; i <= m; i++ )
		②;
		for ( i = 1; i <= m; i++ )
			for ( j = 1; j <= n; j++ )
				rowsum[i][j] = ③;
	for ( first = 1; first <= n; first++ )
		for ( last = first; last <= n; last++ )
		{
			④;
			for ( i = 1; i <= m; i++ )
			{
				area += ⑤;
				if ( area > ans )
					ans = area;
				if ( area < 0 )
					area = 0;
			}
		}
	cout << ans << endl;
	return(0);
}

⑤处应填（ ）

答案

rowsum[i][last] - rowsum[i][first-1]

题解

考点定位

本题（最大子矩阵和第⑤空）考「列区间和」,对应大纲 4.2.1 前缀和（难度【3】）。

解题过程

⑤处行 i 在列区间 [first,last] 的和：

``cpp area += rowsum[i][last] - rowsum[i][first-1]; ``

答案：rowsum[i][last] − rowsum[i][first−1]。

易错提醒

① 前缀和差分：区间和 = 大前缀 − 小前缀；② first−1 是左开端的体现（rowsum 定义为前 j 个之和）。