NOIP 普及 2017 第一轮 第 21 题：按递增长度四向行走后求坐标

题目

一个人站在坐标 $(0, 0)$ 处，面朝 $x$ 轴正方向。第一轮，他向前走 $1$ 单位距离，然后右转；第二轮，他向前走 $2$ 单位距离，然后右转；第三轮，他向前走 $3$ 单位距离，然后右转……他一直这么走下去。请问第 $2017$ 轮后，他的坐标是：（ _ , _ ）。（请在答题纸上用逗号隔开两空答案）

答案

1009, 1008

题解

考点定位

按四轮一组计算行走位移。

解题过程

面朝 x 轴正方向，每轮后右转，方向依次为 +x、−y、−x、+y。

第 4t+1 到第 4t+4 轮的总位移为：

• x 方向：(4t+1)−(4t+3)=−2；
• y 方向：−(4t+2)+(4t+4)=2。

2017=4×504+1。前 2016 轮共 504 组，位置为 (−1008,1008)。第 2017 轮沿 +x 走 2017，得到 (1009,1008)。

答案：1009, 1008。

易错提醒

右转后的第二个方向是 −y。每四轮净位移为 (−2,2)，不是 (−1,1)。