NOIP 普及 2018 第一轮 第 26 题：枚举约数并求两两最大公约数之和：第 2 空

题目

完善程序

（最大公约数之和）下列程序想要求解整数 $n$ 的所有约数两两之间最大公约数的和对 $10007$ 求余后的值，试补全程序。（第一空 $2$ 分，其余 $3$ 分）

举例来说，$4$ 的所有约数是 $1, 2, 4$。$1$ 和 $2$ 的最大公约数为 $1$；$2$ 和 $4$ 的最大公约数为 $2$；$1$ 和 $4$ 的最大公约数为 $1$ 。于是答案为 $1 + 2 + 1 = 4$。

要求 getDivisor 函数的复杂度为 $O(\sqrt{n})$，gcd 函数的复杂度为$O(\log \max(a,b))$。

#include <iostream>
using namespace std;

const int N = 110000, P = 10007;
int n;
int a[N], len;
int ans;

void getDivisor() {
    len = 0;
    for (int i = 1; ① <= n; ++i)
        if (n % i == 0) {
          a[++len] = i;
          if ( ② != i) a[++len] = n / i;
        }
}

int gcd(int a, int b) {
    if (b == 0) {
    	③ ;
    }
    return gcd(b, ④ );
}

int main() {
    cin >> n;
    getDivisor();
    ans = 0;
    for (int i = 1; i <= len; ++i) {
        for (int j = i + 1; j <= len; ++j) {
        	ans = ( ⑤ ) % P;
        }
    }
    cout << ans << endl;
    return 0;
}

②处应填（ ）

答案

n / i

题解

考点定位

本题（约数 gcd 和第②空）考「配对约数」,对应大纲 2.1.3 数论（难度【3】）。

解题过程

②处 i 的配对约数：

``cpp if (n % i == 0) { a[++cnt] = i; a[++cnt] = n / i; } ``

答案：n / i。

易错提醒

① i 与 n/i 是一对约数（i≤√n 时 n/i≥√n）；② i×i==n 时避免重复入表。