CSP-J 2019 第一轮 第 38 题：矩阵变幻：⑤处应填

题目

1.（矩阵变幻）有一个奇幻的矩阵，在不停的变幻，其变幻方式为：

数字 $0$ 变成矩阵

0 0
0 1

数字 $1$ 变成矩阵

1 1
1 0

最初该矩阵只有一个元素 $0$，变幻 $n$ 次后，矩阵会变成什么样？

例如，矩阵最初为：$[0]$；

矩阵变幻 $1$ 次后：

0 0
0 1

矩阵变幻 $2$ 次后：

0 0 0 0
0 1 0 1
0 0 1 1
0 1 1 0

输入一行一个不超过 $10$ 的正整数 $n$。输出变幻 $n$ 次后的矩阵。

试补全程序。

提示：

<< 表示二进制左移运算符，例如 $(11)_2$ << $2 = (1100)_2$；
而 ^ 表示二进制异或运算符，它将两个参与运算的数中的每个对应的二进制位—进行比较，若两个二进制位相同，则运算结果的对应二进制位为 $0$ ，反之为 $1$。

#include <cstdio>
using namespace std;
int n;
const int max_size = 1 << 10;

int res[max_size][max_size];

void recursive(int x, int y, int n, int t) {
    if (n == 0) {
        res[x][y] = ①;
        return;
    }
    int step = 1 << (n - 1);
    recursive(②, n - 1, t);
    recursive(x, y + step, n - 1, t);
    recursive(x + step, y, n - 1, t);
    recursive(③, n - 1, !t);
}

int main() {
    scanf("%d", &n);
    recursive(0, 0, ④);
    int size = ⑤;
    for (int i = 0; i < size; i++) {
        for (int j = 0; j < size; j++)
            printf("%d", res[i][j]);
        puts("");
    }
    return 0;
}

⑤处应填（）

选项

• A. 1<<(n+1)
• B. 1<<n
• C. n+1
• D. 1<<(n-1)

答案

B

题解

⑤处应填 B. 1 << n。

初始矩阵是 $1\times1$，每变幻一次，每个元素都变成一个 $2\times2$ 的小矩阵，因此矩阵的行数和列数都会翻倍：

• 变幻 $0$ 次：边长为 $1$；
• 变幻 $1$ 次：边长为 $2$；
• 变幻 $2$ 次：边长为 $4$；
• 变幻 $n$ 次：边长为 $2^n$。

size 表示矩阵的边长，而 1 << n 就等于 $2^n$，所以填：

``cpp int size = 1 << n; ``