CSP-J 2020 第一轮 第 15 题：手套恰好配成两副的取法

题目

有五副不同颜色的手套（共 $10$ 只手套，每副手套左右手各 $1$ 只），一次性从中取 $6$ 只手套，请问恰好能配成两副手套的不同取法有（ ）种。

选项

• A. 120
• B. 180
• C. 150
• D. 30

答案

A

题解

选 A，120 种。

恰好配成两副，说明取出的 6 只手套中，有 两副完整的手套和两只不能配对的手套。

分三步计数：

1. 从 5 种颜色中选出 2 种，取走这两副完整手套：\(\binom{5}{2}=10\) 种。
2. 剩下的两只必须颜色不同，否则会多配成一副。从剩余 3 种颜色中选 2 种：\(\binom{3}{2}=3\) 种。
3. 这两种颜色各取一只，每种都可以选左手或右手：\(2\times2=4\) 种。

所以共有 \[ \boxed{\binom{5}{2}\binom{3}{2}\times2^2=10\times3\times4=120\text{ 种}}。 \]