CSP-J 2021 第一轮 第 28 题：程序（三，线性筛求约数个数与约数和）：删去f[1]=g[1]=1是否影响x≠1的

题目

假设输入的 $x$ 是不超过 $1000$ 的自然数，完成下面的判断题和单选题：

#include <iostream>
using namespace std;

const int n = 100000;
const int N = n + 1;

int m;
int a[N], b[N], c[N], d[N];
int f[N], g[N];

void init()
{
    f[1] = g[1] = 1;
    for (int i = 2; i <= n; i++) {
        if (!a[i]) {
            b[m++] = i;
            c[i] = 1, f[i] = 2;
            d[i] = 1, g[i] = i + 1;
        }
        for (int j = 0; j < m && b[j] * i <= n; j++) {
            int k = b[j];
            a[i * k] = 1;
            if (i % k == 0) {
                c[i * k] = c[i] + 1;
                f[i * k] = f[i] / c[i * k] * (c[i * k] + 1);
                d[i * k] = d[i];
                g[i * k] = g[i] * k + d[i];
                break;
            }
            else {
                c[i * k] = 1;
                f[i * k] = 2 * f[i];
                d[i * k] = g[i];
                g[i * k] = g[i] * (k + 1);
            }
        }
    }
}

int main()
{
    init();

    int x;
    cin >> x;
    cout << f[x] << ' ' << g[x] << endl;
    return 0;
}

若输入不为 $\texttt 1$，把第 13 行删去不会影响输出的结果。（ ）

选项

• A. 正确
• B. 错误

答案

A

题解

选 A. 正确。

第 13 行 f[1] = g[1] = 1; 只影响下标为 1 的两个元素，后续计算没有用到它们：

• 外层循环从 i = 2 开始。
• 当 i 是质数时，直接赋值 f[i] = 2、g[i] = i + 1，不依赖 f[1]、g[1]。
• 计算合数 i * k 的值时，使用的是 f[i]、g[i] 等，而此时 i ≥ 2，也不会读取下标 1。

因此，删去这行后，只有输入 x = 1 时，输出会从 1 1 变为 0 0（全局数组默认初始化为零）；其他输入的输出不变。如果自然数包含 0，输入 0 的输出也仍然是 0 0。

这题的关键是：看程序是否实际读取 f[1] 和 g[1]，而不是看它们在数学上是否有意义。