CSP-J 2022 第一轮 第 26 题：程序（二）：输入20 2时的输出

题目

1  #include <algorithm>
2  #include <iostream>
3  #include <limits>
4
5  using namespace std;
6
7  const int MAXN = 105;
8  const int MAXK = 105;
9
10 int h[MAXN][MAXK];
11
12 int f(int n, int m)
13 {
14     if (m == 1) return n;
15     if (n == 0) return 0;
16
17     int ret = numeric_limits<int>::max();
18     for (int i = 1; i <= n; i++)
19         ret = min(ret, max(f(n - i,m), f(i - 1, m - 1)) + 1);
20     return ret;
21 }
22
23 int g(int n, int m)
24 {
25     for (int i = 1;i <= n; i++)
26         h[i][1]= i;
27     for (int j = 1;j<= m; j++)
28         h[0][j]= 0;
29
30     for (int i= 1; i <= n; i++){
31         for (int j= 2; j <= m; j++){
32             h[i][j] = numeric_limits<int>::max();
33             for (int k = 1;k <= i;k++)
34             h[i][j]= min(
35                 h[i][j],
36                 max(h[i - k][j],h[k - 1][j - 1]) +1);
37         }
38     }
39
40     return h[n][m];
41 }
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43 int main()
44 {
45     int n,m;
46     cin >> n>> m;
47     cout << f(n, m) << endl << g(n, m)<< endl;
48     return 0;
49 }

假设输入的n、m均是不超过100 的正整数，完成下面的判断题和单选题：

当输入为 20 2 时，输出的第一行为（ ）。

选项

• A. $4$
• B. $5$
• C. $6$
• D. $20$

答案

C

题解

答案是 C．6。

第一行输出的是 f(20, 2)。根据第 14 行，f(i - 1, 1) = i - 1，所以第 19 行在 m = 2 时可写成：

``cpp ret = min(ret, max(f(n - i, 2), i - 1) + 1); ``

其中，max 表示取两个分支中较大的次数，+1 表示算上当前这一次，min 表示选择最优的 i。

反过来考虑：结果不超过 t 时，n 最大能是多少？

要使两个分支加上当前这一次都不超过 t，必须满足：

• i - 1 ≤ t - 1，即 i ≤ t；
• 剩下的 n - i 要能在 t - 1 次内完成。

因此，设 t 次最多能处理的规模为 N(t)，就有：

\[ N(t)=t+N(t-1),\quad N(0)=0 \]

也就是：

\[ N(t)=1+2+\cdots+t=\frac{t(t+1)}2 \]

于是：

\[ N(5)=15<20,\qquad N(6)=21\ge20 \]

所以 5 次不够，6 次可以，第一行输出 6。