CSP-J 2023 第一轮 第 6 题：7 个时间段选练习时段（间隔至少2个）的方案数

题目

小明在某一天中依次有七个空闲时间段，他想要选出至少一个空闲时间段来练习唱歌，但他希望任意两个练习的时间段之间都有至少两个空闲的时间段让他休息。则小明一共有（）种选择时间段的方案。

选项

• A. 31
• B. 18
• C. 21
• D. 33

答案

B

题解

选 B，18 种。

把七个时间段编号为 \(1,2,\ldots,7\)。两个练习时段之间至少留出两个休息时段，所以选中的编号之差至少为 \(3\)。

按选几个时间段分类：

• 选 1 个：任意选，有 \(7\) 种。
• 选 2 个：按较早的时间段来数：
• 选 \(1\)，另一个可以是 \(4、5、6、7\)，有 \(4\) 种；
• 选 \(2\)，另一个可以是 \(5、6、7\)，有 \(3\) 种；
• 选 \(3\)，另一个可以是 \(6、7\)，有 \(2\) 种；
• 选 \(4\)，另一个只能是 \(7\)，有 \(1\) 种。

共 \(4+3+2+1=10\) 种。

• 选 3 个：只有 \(\{1,4,7\}\)，有 \(1\) 种。
• 选 4 个及以上：至少需要 \(4+3\times2=10\) 个时间段，不可能。

因此总方案数为 \[ \boxed{7+10+1=18}. \]