CSP-J 2026 第一轮 第 41 题：平衡分割：③处应填

题目

给定一个长度为 $n$ 的字符串，其中每个字符都是一个十六进制数位。例如，字符串 016A 表示十进制下的四个数 $0, 1, 6, 10$。

现在请选择 $k$ 个（$k$ 是你选定的数）切分位置 $p_{1}, p_{2}, … , p_{k}$，其中 $1 \le k < n$，且 $1 \le p_{1}< p_{2}< \cdots < p_{k}< n$。再令 $p_{0}=0$，$p_{k + 1}=n$。

对于每个 $0 \le i \le k$，计算第 $p_{i} + 1$ 个数到第 $p_{i + 1}$ 个数的平均值，记作 $b_{i}$。你的目标是使 $b_{0}, b_{1}, … , b_{k}$ 中最大值与最小值之差尽可能小，并输出这个最小值。

其中 $2 \le n \le 20$。输入字符串中的字符只可能是 0—9 或 A—F。本题假定字符采用 ASCII 编码。输出答案时保留小数点后 6 位。

以下程序通过递归枚举所有可能的连续分段方案。请补全程序。

#include <algorithm>
#include <iomanip>
#include <iostream>

using namespace std;

constexpr int N = 25;

int n, a[N];
char s[N];

double ans = 1e100;

int value(char c) { return /* ① */; }

void split(int l, int cnt, double mnb, double mxb) {
    if (l > n) {
        if (cnt == 0) return;
        ans = min(ans, mxb - mnb);
        return;
    }
    int sum = 0;
    for (/* ② */) {
        sum += a[r];
        double nwb = /* ③ */;
        split(/* ④ */);
    }
}

int main() {
    cin >> n >> s + 1;
    for (int i = 1; i <= n; ++i)
        a[i] = value(s[i]);
    split(/* ⑤ */);
    cout << fixed << setprecision(6) << ans;

③处应填（ ）。

选项

• A. sum / (r - l + 1) * 1.0
• B. sum * 1.0 / (r - l) + 1
• C. sum * 1.0 / (r - l + 1)
• D. (sum - a[r]) * 1.0 / (r - l + 1)

答案

C

题解

应选 C：sum * 1.0 / (r - l + 1)。

当前分段是闭区间 [l, r]，共有 r - l + 1 个数。执行 sum += a[r] 后，sum 就是这一段的总和，因此平均值为：

\[ \text{nwb}=\frac{\text{sum}}{r-l+1} \]

先乘 1.0 是为了进行浮点除法，保留小数。

其他选项的问题：

• A：先进行整数除法，小数已被截去，再乘 1.0 也无法恢复。例如 3 / 2 * 1.0 得到 1.0。
• B：分母错误，且 r == l 时会除以零；最后加 1 也不符合平均值公式。
• D：减去了 a[r]，分子不再是整段的总和。