CSP-S 2021 第一轮 第14题：设一个三位数 n= abc，a，b，c 均为1～9 之间的整数，若以 a、b、c

题目

设一个三位数 $n= \overline{abc}$， $a, b, c$ 均为 $1\sim 9$ 之间的整数，若以 $a$、 $b$、 $c$ 作为三角形的三条边可以构成等腰三角形（包括等边），则这样的 $n$ 有（ ）个。

选项

• A. 81
• B. 120
• C. 165
• D. 216

答案

C

题解

选 C．165。

把等腰三角形的三条边记为 $x,x,y$。三角形不等式只需满足 \[ y<2x. \]

分两类计数：

① 等边三角形： $a=b=c$，有 $111,222,\ldots,999$，共 9 个。

② 非等边的等腰三角形： 要求 $y\ne x$。固定重复的数字 $x$，统计 $y$ 的选择数：

因此共有 \[ 0+2+4+6+5\times8=52 \] 种边长组合。每一种都能排列成 $xxy,xyx,yxx$ 三个不同的三位数，所以这一类有 $52\times3=156$ 个。

总数为 \[ \boxed{156+9=165}. \]