CSP-S 2021 第一轮 第31题：设输入字符串长度为 n，encode函数的时间复杂度为（）。

题目

#include <iostream>
#include <string>
using namespace std;

char base[64];
char table[256];

void init()
{
    for (int i = 0; i < 26; i++) base[i] = 'A' + i;
    for (int i = 0; i < 26; i++) base[26 + i] = 'a' + i;
    for (int i = 0; i < 10; i++) base[52 + i] = '0' + i;
    base[62] = '+', base[63] = '/';

    for (int i = 0; i < 256; i++) table[i] = 0xff;
    for (int i = 0; i < 64; i++) table[base[i]] = i;
    table['='] = 0;
}

string encode(string str)
{
    string ret;
    int i;
    for (i = 0; i + 3 <= str.size(); i += 3) {
        ret += base[str[i] >> 2];
        ret += base[(str[i] & 0x03) << 4 | str[i + 1] >> 4];
        ret += base[(str[i + 1] & 0x0f) << 2 | str[i + 2] >> 6];
        ret += base[str[i + 2] & 0x3f];
    }
    if (i < str.size()) {
        ret += base[str[i] >> 2];
        if (i + 1 == str.size()) {
            ret += base[(str[i] & 0x03) << 4];
            ret += "==";
        }
        else {
            ret += base[(str[i] & 0x03) << 4 | str[i + 1] >> 4];
            ret += base[(str[i + 1] & 0x0f) << 2];
            ret += "=";
        }
    }
    return ret;
}

string decode(string str)
{
    string ret;
    int i;
    for (i = 0; i < str.size(); i += 4) {
        ret += table[str[i]] << 2 | table[str[i + 1]] >> 4;
        if (str[i + 2] != '=')
            ret += (table[str[i + 1]] & 0x0f) << 4 | table[str[i + 2]] >> 2;
        if (str[i + 3] != '=')
            ret += table[str[i + 2]] << 6 | table[str[i + 3]];
    }
    return ret;
}

int main()
{
    init();
    cout << int(table[0]) << endl;

    int opt;
    string str;
    cin >> opt >> str;
    cout << (opt ? decode(str) : encode(str)) << endl;
    return 0;
}

假设输入总是合法的（一个整数和一个不含空白字符的字符串，用空格隔开），完成下面的判断题和单选题：

设输入字符串长度为 $n$，encode 函数的时间复杂度为（ ）。

选项

• A. $O( \sqrt{n})$
• B. $O(n)$
• C. $O(n\log n)$
• D. $O(n^2)$

答案

B

题解

答案是 B．\(O(n)\)。

分析 encode 函数：

1. 循环次数：i 每次增加 3，每轮处理 3 个字符，因此循环执行约 \(\lfloor n/3\rfloor\) 次。
2. 每轮操作：执行固定次数的位运算、数组访问和字符追加。字符追加按通常的均摊 \(O(1)\) 计算，因此每轮为 \(O(1)\)。
3. 末尾处理：循环后的 if 只处理剩余的 1 或 2 个字符，耗时为 \(O(1)\)。

所以总时间复杂度为： \[ T(n)=O(n/3)+O(1)=\boxed{O(n)} \]

注意：每次处理 3 个字符只是减少了常数倍的操作量，复杂度仍是 \(O(n)\)。