CSP-S 2023 第一轮 第8题：一位玩家正在玩一个特殊的掷骰子的游戏，游戏要求连续掷两次骰子，收益规则如下：玩

题目

一位玩家正在玩一个特殊的掷骰子的游戏，游戏要求连续掷两次骰子，收益规则如下：玩家第一次掷出 $x$ 点，得到 $2x$ 元；第二次掷出 $y$ 点，当 $y=x$ 时玩家会失去之前得到的 $2x$ 元而当 $y \neq x$ 时玩家能保住第一次获得的 $2x$ 元。上述 $x,y\in{1,2,3,4,5,6}$。 例如：玩家第 一次掷出 $3$ 点得到 $6$ 元后，但第二次再次掷出 $3$ 点，会失去之前得到的 $6$ 元，玩家最终收益为 $0$ 元；如果玩家第一次掷出 $3$ 点、第二次掷出 $4$ 点，则最终收益是 $6$ 元。假设骰子掷出任意一点的概率均为 $\dfrac 1 6$,玩家连续掷两次般子后，所有可能情形下收益的平均值是多少？

选项

• A. $7$ 元
• B. $\dfrac{35}{6}$ 元
• C. $\dfrac{16}{3}$ 元
• D. $\dfrac{19}{3}$ 元

答案

B

题解

选 B，$\dfrac{35}{6}$ 元。

第一次掷出任意点数 $x$ 后，第二次有 $\dfrac16$ 的概率与它相同，收益为 $0$；有 $\dfrac56$ 的概率不同，保留 $2x$ 元。因此，第一次掷出 $x$ 时的平均收益为 \[ 0\times\frac16+2x\times\frac56=\frac{5x}{3}. \]

第一次的六种点数等可能，所以最终收益的平均值为 \[ \frac16\sum_{x=1}^{6}\frac{5x}{3} =\frac{5}{18}(1+2+3+4+5+6) =\boxed{\frac{35}{6}\text{ 元}}. \]