CSP-S 2023 第一轮 第39题：完善程序（第 20 题）第 1 空

题目

（最大值之和）给定整数序列 $a_0,\cdots,a_{n-1}$，求该序列所有非空连续子序列的最大值之和。上述参数满足 $1\le n\le 10^5$ 和 $1\le a_i\le 10^8$。

一个序列的非空连续子序列可以用两个下标 $l$ 和 $r$（其中$0 \le l \le r < n$）表示，对应的序列为 $a_l,a_{l+1},\cdots,a_r$。两个非空连续子序列不同，当且仅当下标不同。

例如，当原序列为 $[1,2,1,2]$ 时，要计算子序列 $[1]$、$[2]$、$[1]$、$[2]$、$[1,2]$、$[2,1]$、$[1,2]$、$[1,2,1]$、$[2,1,2]$、$[1,2,1,2]$ 的最大值之和，答案为 $18$。注意 $[1,1]$ 和 $[2,2]$ 虽然是原序列的子序列，但不是连续子序列，所以不应该被计算。另外，注意其中有一些值相同的子序列，但由于他们在原序列中的下标不同，属于不同的非空连续子序列，所以会被分别计算。

解决该问题有许多算法，以下程序使用分治算法，时间复杂度 $O(n\log n)$。

试补全程序。

#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <vector>

const int MAXN = 100000;

int n;
int a[MAXN];
long long ans;

void solve(int l, int r) {
    if (l + 1 == r) {
        ans += a[l];
        return;
    }
    int mid = (l + r) >> 1;
    std::vector<int> pre(a + mid, a + r);
    for (int i = 1; i < r - mid; ++i) ①;
    std::vector<long long> sum(r - mid + 1);
    for (int i = 0; i < r - mid; ++i)
        sum[i + 1] = sum[i] + pre[i];
    for (int i = mid - 1, j = mid, max = 0; i >= l; --i) {
        while (j < r && ②) ++j;
        max = std::max(max, a[i]);
        ans += ③;
        ans += ④;
    }
    solve(l, mid);
    solve(mid, r);
}

int main() {
    std::cin >> n;
    for (int i = 0; i < n; ++i)
        std::cin >> a[i];
    ⑤;
    std::cout << ans << std::endl;
    return 0;
}

①处应填（）

选项

• A. pre[i] = std::max(pre[i - 1], a[i - 1])
• B. pre[i + 1] = std::max(pre[i],pre[i + 1])
• C. pre[i] = std::max(pre[i -1], a[i])
• D. pre[i] = std::max(pre[i], pre[i - 1])

答案

D

题解

选 D： ``cpp pre[i] = std::max(pre[i], pre[i - 1]) ``

pre 最初复制了右半段 a[mid] 到 a[r-1]。这个循环要把它变成前缀最大值数组，使得： \[ pre[i]=\max(a_{mid},a_{mid+1},\ldots,a_{mid+i}) \]

因此，计算 pre[i] 时，要取下面两者的最大值：

• pre[i]：当前位置原来的值 a[mid+i]；
• pre[i-1]：前面所有位置的最大值。

例如，右半段为 [3,1,4,2]，循环结束后，pre 就是 [3,3,4,4]。这样，后面计算跨越中点的连续子序列时，就能直接获得右侧部分的最大值。

A、C 使用原数组 a 时没有加上偏移量 mid，下标不对；B 在最后一次循环时会访问越界的 pre[i+1]。