CSP-S 2024 第一轮 第13题：对于一个整数n，定义f(n)为n的各位数字之和。问使f(f(x))=10 的最小

题目

对于一个整数 $n$，定义 $f(n)$ 为 $n$ 的各位数字之和，问使 $f(f(x))=10$ 的最小自然数 $x$ 是多少？

选项

• A. 29
• B. 199
• C. 299
• D. 399

答案

B

题解

答案是 B. 199。关键是先考虑中间结果 \(f(x)\)。

设 \(s=f(x)\)，题目要求 \(f(s)=10\)。各位数字之和为 10 的最小自然数是 19：一位数不可能，二位数十位最小取 1，个位就要取 9。因此 \[ f(x)\ge 19. \]

再找各位数字之和至少为 19 的最小数：

• 一位数、两位数都不行，因为两位数的数字和最多是 \(9+9=18\)。
• 三位数的百位最小取 1，剩下两位的数字和至少为 18，只能都取 9，得到 199。

验证： \[ f(199)=1+9+9=19,\qquad f(19)=1+9=10. \]

所以最小的 \(x\) 是 \(\boxed{199}\)。