CSP-S 2024 第一轮 第24题：当n=10且 m=10时，有多少种输入使得两行的结果完全一致？（

题目

#include <iostream>
#include <string>
using namespace std;

const int P = 998244353, N = 1e4 + 10, M = 20;
int n, m;
string s;
int dp[1 << M];

int solve() {
    dp[0] = 1;
    for (int i = 0; i < n; ++i) {
        for (int j = (1 << (m - 1)) - 1; j >= 0; --j) {
            int k = (j << 1) | (s[i] - '0');
            if (j != 0 || s[i] == '1')
                dp[k] = (dp[k] + dp[j]) % P;
        }
    }
    int ans = 0;
    for (int i = 0; i < (1 << m); ++i) {
        ans = (ans + 1ll * i * dp[i]) % P;
    }
    return ans;
}

int solve2() {
    int ans = 0;
    for (int i = 0; i < (1 << n); ++i) {
        int cnt = 0;
        int num = 0;
        for (int j = 0; j < n; ++j) {
            if (i & (1 << j)) {
                num = num * 2 + (s[j] - '0');
                cnt++;
            }
        }
        if (cnt <= m) (ans += num) %= P;
    }
    return ans;
}

int main() {
    cin >> n >> m;
    cin >> s;
    if (n <= 20) {
        cout << solve2() << endl;
    }
    cout << solve() << endl;
    return 0;
}

假设输入的 $s$ 是包含 $n$ 个字符的 $01$ 串，完成下面的判断题和单选题。

当 $n = 10$ 且 $m = 10$ 时，有多少种输入使得两行的结果完全一致？（  ）

选项

• A. $1024$
• B. $11$
• C. $10$
• D. $0$

答案

B

题解

选 B，\(11\)。

关键在于：solve2() 会统计含前导零的子序列，而 solve() 只统计首位为 1 的非空子序列。

solve() 中： ``cpp if (j != 0 || s[i] == '1') dp[k] = (dp[k] + dp[j]) % P; ` dp[0] = 1 表示空子序列。当 j == 0 时，只有遇到 1` 才能转移，因此不能选取前导零。

当 \(n=m=10\) 时，所有子序列都符合长度限制，所以两者的差异只来自前导零：

• 全由 0 构成的子序列，数值为 \(0\)，漏掉也不影响答案。
• 以 0 开头、后面包含 1 的子序列，数值大于 \(0\)，漏掉就会使答案变小。

因此，两行相等的充要条件是：原串中不存在某个 0 出现在某个 1 前面。 否则，仅选这两个字符就能得到子序列 01，产生正的差值。

所以原串必须形如 \[ s=\underbrace{11\cdots1}_{k\text{ 个}}\underbrace{00\cdots0}_{10-k\text{ 个}}, \qquad k=0,1,\ldots,10. \] 一共 \(11\) 种。

另外，答案至多为 \(2^{10}(2^{10}-1)=1047552<P\)，不会因取模而让不同的结果变得相等。