CSP-S 2026 第一轮 第 43 题：标准答案：⑤处应填

题目

给定 $n$ 名学生参加一场考试，考试共有 $m$ 道选择题，每道题只有 A、B 两个选项。

第 $i$ 名学生的作答为一个长度为 $m$ 的字符串。若最终公布的标准答案与该学生在某道题上的作答相同，则该学生在这道题上得 1 分，否则不得分。记第 $i$ 名学生最终得到的总分为 $r_{i}$。

每名学生还有一个预期得分 $x_{i}$。现在需要构造一份标准答案，使

尽可能大。

数据满足 $1 \le n \le 18$，$1 \le m \le 300$，$0 \le x_{i}\le m$。

提示：可以换一个角度处理 $\sum_{i=1}^{n}∣r_{i}- x_{i}∣$，把它写成更易优化的形式；对正整数 $x$，__builtin_ctzll(x) 返回 $x$ 的二进制表示末尾连续 0 的个数；__builtin_popcountll(x) 返回 $x$ 的二进制表示中 1 的个数。

以下程序构造出一组满足要求的标准答案。请补全程序。

#include <cstdlib>
#include <iostream>
#include <string>
#include <vector>
using namespace std;
typedef long long ll;
typedef unsigned long long ull;
int main() {
    int n, m;
    cin >> n >> m;
    vector<ll> x(n), c(n);
    for (int i = 0; i < n; i++) {
        cin >> x[i];
        c[i] = /* ① */;
    }
    vector<string> a(n);
    for (int i = 0; i < n; i++)
        cin >> a[i];
    vector<int> s(n, -1);
    vector<ll> q(m, 0);
    ll C = 0, S = 0;
    for (int i = 0; i < n; i++) {
        C -= c[i];
        for (int j = 0; j < m; j++) {
            if (a[i][j] == 'A') q[j]--;
            else q[j]++;
        }
    }
    for (int j = 0; j < m; j++) S += abs(q[j]);
    ll ans = C + S;
    ull best = 0, lst = 0;
    for (ull mask = 1; mask < (1ULL << n); mask++) {
        ull g = /* ② */;
        ull d = g ^ lst;
        int k = /* ③ */;
        C -= /* ④ */;
        for (int j = 0; j < m; j++) {
            ll old = q[j];
            int v = (a[k][j] == 'A' ? 1 : -1);
            q[j] -= 2ll * s[k] * v;
            S += abs(q[j]) - abs(old);
        }
        s[k] = -s[k];
        if (C + S > ans) {
            ans = C + S;
            best = g;
        }
        lst = g;
    }
    for (int i = 0; i < n; i++) {
        if ((best >> i) & 1) s[i] = 1;
        else s[i] = -1;
    }
    string res(m, 'A');
    for (int j = 0; j < m; j++) {
        ll v = 0;
        for (int i = 0; i < n; i++) {
            if (a[i][j] == 'A') v += s[i];
            else v -= s[i];
        }
        if (/* ⑤ */) res[j] = 'A';
        else res[j] = 'B';
    }
    cout << res << endl;
    return 0;
}

⑤处应填（ ）。

选项

• A. v >= (n & 1)
• B. v > (n & 1)
• C. v + (n & 1) >= 0
• D. v * (n & 1) >= 0

答案

A

题解

答案是 A．v >= (n & 1)。

关键是把绝对值改写成： \[ |r_i-x_i|=\max_{s_i\in\{-1,1\}}s_i(r_i-x_i). \] 因此，可以枚举每个学生对应的符号 \(s_i\)，再求这组符号下最优的标准答案。代码前半部分就是在枚举符号，并用 best 保存最优的一组。

固定 \(s_i\) 后，要最大化 \[ \sum_i s_i(r_i-x_i). \] 其中 \(-\sum_i s_ix_i\) 是常数，所以每道题都可以独立选择答案。

对于第 \(j\) 道题：

• 标准答案选 A，这道题对上式的贡献是 \(\sum_{a_{ij}=\mathrm A}s_i\)；
• 标准答案选 B，贡献是 \(\sum_{a_{ij}=\mathrm B}s_i\)。

两者相减，恰好是程序计算的 \[ v=\sum_{a_{ij}=\mathrm A}s_i-\sum_{a_{ij}=\mathrm B}s_i. \] 所以 \(v\ge 0\) 时选 A，\(v<0\) 时选 B；\(v=0\) 时两种答案都可以。

为什么选项 A 等价于 v >= 0？因为 \(v\) 是 \(n\) 个 \(+1\) 或 \(-1\) 的和，其奇偶性与 \(n\) 相同：

因此⑤应填： ``cpp v >= (n & 1) ``

其他选项的问题：B 在 \(n\) 为奇数、\(v=1\) 时错误地选 B；C 在 \(n\) 为奇数、\(v=-1\) 时错误地选 A；D 在 \(n\) 为偶数时总是选 A。