NOIP 提高 2010 第一轮 第 3 题：以下逻辑表达式的值恒为真的是（

题目

以下逻辑表达式的值恒为真的是（    ）。

选项

• A. P∨（┓P∧Q）∨(┓P∧┓Q)
• B. Q∨（┓P∧Q）∨（P∧┓Q）
• C. P∨Q∨（P∧┓Q）∨（┓P∧Q）
• D. P∨┓Q∨（P∧┓Q）∨(┓P∧┓Q)

答案

A

题解

考点定位

本题考「逻辑恒等式化简」，对应大纲 2.1.5 逻辑运算（难度【2】）。

解题过程

逐项化简，核心技巧是提公因子凑完备对 $(Q\lor\lnot Q)$、$(P\lor\lnot P)$：

A $P\lor(\lnot P\land Q)\lor(\lnot P\land\lnot Q)$

$$=P\lor\big[\lnot P\land(Q\lor\lnot Q)\big]=P\lor\lnot P=\text{恒真}\ ✓$$

B $Q\lor(\lnot P\land Q)\lor(P\land\lnot Q)=Q\lor(P\land\lnot Q)$；取 $P=0,Q=0$ 得 $0$，非恒真 ✗

C $P\lor Q\lor(P\land\lnot Q)\lor(\lnot P\land Q)=P\lor Q$（后两项分别被 $P$、$Q$ 吸收）；取 $P=0,Q=0$ 得 $0$ ✗

D $P\lor\lnot Q\lor(P\land\lnot Q)\lor(\lnot P\land\lnot Q)=P\lor\lnot Q$；取 $P=0,Q=1$ 得 $0$ ✗

所以选 A。

易错提醒

① 排除其余选项不必完整化简：各取一组让式子为 0 的赋值即可（B、C 在 $P=Q=0$ 时为 0，D 在 $P=0,Q=1$ 时为 0）；

② 化简方向：用分配律提出公因子，凑出 $(Q\lor\lnot Q)$ 这类恒真项后整块消去。