NOIP 提高 2011 第一轮 第 13 题：一个正整数在十六进制下有100位，则它在二进制下可能有（）位。

题目

一个正整数在十六进制下有 $100$ 位，则它在二进制下可能有（  ）位。

答案

A、B

题解

考点定位

本题考「进制位数（不定项）」,对应大纲 2.1.1 数制（难度【3】）。

解题过程

十六进制 100 位 ⇒ 数 N∈[16⁹⁹,16¹⁰⁰−1]。二进制位数 = ⌈log₂(N+1)⌉ ∈ (4×99, 4×100] = (396,400] ⇒ 可能 397、398、399、400 位。

选项中 399、400 ✓；401>400 ✗。

答案：A、B。

易错提醒

① 4 位二进制 = 1 位十六进制，但首位十六进制数字可为 1（1→4 位二进制）到 15（→4 位）——首位 1 时只有 397 位（4×99+1）；② 边界：16⁹⁹ 的二进制位数为 397。