NOIP 提高 2012 第一轮 第 18 题：十进制下的无限循环小数（不包括循环节内的数字均为0或均为9的平凡情况），在二

题目

十进制下的无限循环小数（不包括循环节内的数字均为 $0$ 或均为 $9$ 的平凡情况），在二进制下有可能是（ ）。

答案

A

题解

考点定位

本题考「进制与有理数（不定项）」,对应大纲 2.1.1 数制（难度【4】）。

解题过程

十进制无限循环小数 = 分母含 3/7/11 等非 2、5 因子的有理数。化成二进制：分母的这些素因子仍存在（2 的幂不消去它们）⇒ 仍是无限循环小数。

答案：A。

易错提醒

① 有理数在任意进制下要么有限要么循环；② 有限性条件：分母（既约后）的素因子 ⊆ 进制底数的素因子——十进制循环 ⇒ 二进制必循环。