NOIP 提高 2013 第一轮 第 5 题：已知一棵二叉树有2013个节点，则其中至多有（）个节点有2个子节点。

题目

已知一棵二叉树有 $2013$ 个节点，则其中至多有（   ）个节点有 $2$ 个子节点。

选项

• A. 1006
• B. 1007
• C. 1023
• D. 1024

答案

A

题解

考点定位

本题考「二叉树度数关系」,对应大纲 3.2.2 二叉树（难度【3】）。

解题过程

n₀=n₂+1，2013=n₀+n₁+n₂ ⇒ n₁+2n₂=2012。n₂ 最大取 n₁=1：n₂=1005？2012−2=2010/2=1005。等等：n₁=1 ⇒ 2n₂=2011 非偶 ✗；n₁ 奇偶性与 n₂ 整除性：n₁ 必须使 2012−n₁ 为偶 ⇒ n₁ 偶。n₁ 最小 = 0 ⇒ n₂=1006 ✓。

选 A。

易错提醒

① n₁ 可为 0（全满构造：1006 个二结点+1007 个叶子）；② n₀=n₂+1=1007 ✓ 总数 1007+1006=2013 ✓。