NOIP 提高 2015 第一轮 第 21 题：在 1 和 2015 之间（包括 1 和 2015 在内）不能被 4,5,6 三

题目

在 $1$ 和 $2015$ 之间（包括 $1$ 和 $2015$ 在内）不能被 $4,5,6$ 三个数任意一个数整除的数有_个。

答案

1075

题解

考点定位

本题考「容斥原理计数」,对应大纲 2.1.3 数论（难度【4】）。

解题过程

[1,2015] 中不被 4、5、6 任意一个整除的个数。容斥：

• |A∪B∪C| = Σ|Ai| − Σ|Ai∩Aj| + |A∩B∩C|；
• ⌊2015/4⌋=503、⌊/5⌋=403、⌊/6⌋=335；
• 交：lcm(4,5)=20 → 100；lcm(4,6)=12 → 167；lcm(5,6)=30 → 67；
• 全交：lcm(4,5,6)=60 → 33。

并集 = (503+403+335) − (100+167+67) + 33 = 1241 − 334 + 33 = 940。不被整除 = 2015 − 940 = 1075。

答案：1075。

易错提醒

① 三集容斥符号：+ − +；② lcm 计算准确（4,5,6 的 lcm=60 而非 120）。