NOIP 提高 2016 第一轮 第 35 题：完善程序（交朋友）第 4 空

题目

（交通中断）有一个小国家，国家内有 $n$ 座城市和 $m$ 条双向的道路，每条道路连接着两座不同的城市。其中 $1$ 号城市为国家的首都。由于地震频繁可能导致某一个城市与外界交通全部中断。这个国家的首脑想知道，如果只有第 $i(i>1)$ 个城市因地震而导致交通中断时，首都到多少个城市的最短路径长度会发生改变。如果因为无法通过第 $i$ 个城市而导致从首都出发无法到达某个城市，也认为到达该城市的最短路径长度改变。

对于每一个城市 $i$，假定只有第 $i$ 个城市与外界交通中断，输出有多少个 城市会因此导致到首都的最短路径长度改变。

我们采用邻接表的方式存储图的信息，其中 head[x] 表示顶点 $x$ 的第一条边的编号，next[i]  表示第 $i$ 条边的下一条边的编号，point[i] 表示第 $i$ 条边的终点，weight[i] 表示第 $i$ 条边的长度。（第一空 $2$ 分，其余 $3$ 分）

#include <iostream>
#include <cstring>
using namespace std;
#define MAXN 6000
#define MAXM 100000
#define infinity 2147483647
int head[MAXN], next[MAXM], point[MAXM], weight[MAXM];
int queue[MAXN], dist[MAXN], visit[MAXN];
int n, m, x, y, z, total = 0, answer;
void link(int x, int y, int z)
{
    total++;
    next[total] = head[x];
    head[x] = total;
    point[total] = y;
    weight[total] = z;
    total++;
    next[total] = head[y];
    head[y] = total;
    point[total] = x;
    weight[total] = z;
}
int main()
{
    int i, j, s, t;
    cin >> n >> m;
    for (i = 1; i <= m; i++)
    {
        cin >> x >> y >> z;
        link(x, y, z);
    }
    for (i = 1; i <= n; i++)
        dist[i] = infinity;
    (1);
    queue[1] = 1;
    visit[1] = 1;
    s = 1;
    t = 1;
    // 使用 SPFA 求出第一个点到其余各点的最短路长度
    while (s <= t)
    {
        x = queue[s % MAXN];
        j = head[x];
        while (j != 0)
        {
            if ((2))
            {
                dist[point[j]] = dist[x] + weight[j];
                if (visit[point[j]] == 0)
                {
                    t++;
                    queue[t % MAXN] = point[j];
                    visit[point[j]] = 1;
                }
            }
            j = next[j];
        }
        (3);
        s++;
    }
    for (i = 2; i <= n; i++)
    {
        queue[1] = 1;
        memset(visit, 0, sizeof(visit));
        visit[1] = 1;
        s = 1;
        t = 1;
        while (s <= t)
        { // 判断最短路长度是否不变
            x = queue[s];
            j = head[x];
            while (j != 0)
            {
                if (point[j] != i && (4) && visit[point[j]] == 0)
                {
                    (5);
                    t++;
                    queue[t] = point[j];
                }
                j = next[j];
            }
            s++;
        }
        answer = 0;
        for (j = 1; j <= n; j++)
            answer += 1 - visit[j];
        cout << i << ":" << answer - 1 << endl;
    }
    return 0;
}

第 4 空应填（ ）

答案

dist[x]+weight[j]==dist[point[j]]

题解

考点定位

本题（交通中断第④空）考「最短路边判定」,对应大纲 4.3.3 最短路树（难度【5】）。

解题过程

④处判断边 (x,point[j]) 是否在某点的最短路上（被依赖）：

``cpp dist[x] + weight[j] == dist[point[j]] ``

答案：dist[x]+weight[j]==dist[point[j]]。

易错提醒

① 最短路树边 = 满足等式的边；② 统计每个点在最短路树中的「孩子数」——断该点影响的正是其子树。