划分｜CSP-S 2019 第二轮（复赛）真题

[CSP-S 2019] 划分

题目描述

2048 年，第三十届 CSP 认证的考场上，作为选手的小明打开了第一题。这个题的样例有 $n$ 组数据，数据从 $1 \sim n$ 编号，$i$ 号数据的规模为 $a_i$。

小明对该题设计出了一个暴力程序，对于一组规模为 $u$ 的数据，该程序的运行时间为 $u^2$。然而这个程序运行完一组规模为 $u$ 的数据之后，它将在任何一组规模小于 $u$ 的数据上运行错误。样例中的 $a_i$ 不一定递增，但小明又想在不修改程序的情况下正确运行样例，于是小明决定使用一种非常原始的解决方案：将所有数据划分成若干个数据段，段内数据编号连续，接着将同一段内的数据合并成新数据，其规模等于段内原数据的规模之和，小明将让新数据的规模能够递增。

也就是说，小明需要找到一些分界点 $1 \leq k_1 \lt k_2 \lt \cdots \lt k_p \lt n$，使得

$$ \sum_{i=1}^{k_1} a_i \leq \sum_{i=k_1+1}^{k_2} a_i \leq \cdots \leq \sum_{i=k_p+1}^{n} a_i $$

注意 $p$ 可以为 $0$ 且此时 $k_0 = 0$，也就是小明可以将所有数据合并在一起运行。

小明希望他的程序在正确运行样例情况下，运行时间也能尽量小，也就是最小化：

$$ \left(\sum_{i=1}^{k_1} a_i\right)^2 + \left(\sum_{i=k_1+1}^{k_2} a_i\right)^2 + \cdots + \left(\sum_{i=k_p+1}^{n} a_i\right)^2 $$

小明觉得这个问题非常有趣，并向你请教：给定 $n$ 和 $a_i$，请你求出最优划分方案下，小明的程序的最小运行时间。

输入格式

由于本题的数据范围较大，部分测试点的 $a_i$ 将在程序内生成。

第一行两个整数 $n, type$。$n$ 的意义见题目描述，$type$ 表示输入方式。

1. 若 $type = 0$，则该测试点的 $a_i$ 直接给出。输入文件接下来：第二行 $n$ 个以空格分隔的整数 $a_i$，表示每组数据的规模。
2. 若 $type = 1$，则该测试点的 $a_i$ 将特殊生成，生成方式见后文。输入文件接下来：第二行六个以空格分隔的整数 $x, y, z, b_1, b_2, m$。接下来 $m$ 行中，第 $i (1 \leq i \leq m)$ 行包含三个以空格分隔的正整数 $p_i, l_i, r_i$。

对于 $type = 1$ 的 $23 \sim 25$ 号测试点，$a_i$ 的生成方式如下：

给定整数 $x, y, z, b_1, b_2, m$，以及 $m$ 个三元组 $(p_i, l_i, r_i)$。

保证 $n \geq 2$。若 $n \gt 2$，则 $\forall 3 \leq i \leq n, b_i = (x \times b_{i−1} + y \times b_{i−2} + z) \bmod 2^{30}$。

保证 $1 \leq p_i \leq n, p_m = n$。令 $p_0 = 0$，则 $p_i$ 还满足 $\forall 0 \leq i \lt m$ 有 $p_i \lt p_{i+1}$。

对于所有 $1 \leq j \leq m$，若下标值 $i (1 \leq i \leq n)$ 满足 $p_{j−1} \lt i \leq p_j$，则有

$$a_i = \left(b_i \bmod \left( r_j − l_j + 1 \right) \right) + l_j$$

上述数据生成方式仅是为了减少输入量大小，标准算法不依赖于该生成方式。

输出格式

输出一行一个整数，表示答案。

样例 1

5 0
5 1 7 9 9

247

样例 2

10 0
5 6 7 7 4 6 2 13 19 9

1256

样例 3

10000000 1
123 456 789 12345 6789 3
2000000 123456789 987654321
7000000 234567891 876543219
10000000 456789123 567891234

4972194419293431240859891640

说明 / 提示

【样例 1 解释】

最优的划分方案为 $\{5,1\}, \{7\}, \{9\}, \{9\}$。由 $5 + 1 \leq 7 \leq 9 \leq 9$ 知该方案合法。

答案为 $(5 + 1)^2 + 7^2 + 9^2 + 9^2 = 247$。

虽然划分方案 $\{5\}, \{1\}, \{7\}, \{9\}, \{9\}$ 对应的运行时间比 $247$ 小，但它不是一组合法方案，因为 $5 \gt 1$。

虽然划分方案 $\{5\}, \{1,7\}, \{9\}, \{9\}$ 合法，但该方案对应的运行时间为 $251$，比 $247$ 大。

【样例 2 解释】

最优的划分方案为 $\{5\}, \{6\}, \{7\}, \{7\}, \{4,6,2\}, \{13\}, \{19,9\}$。

【数据范围】

对于 $type=0$ 的所有测试点，保证最后输出的答案 $\leq 4 \times 10^{18}$。

所有测试点满足：$type \in \{0,1\}$，$2 \leq n \leq 4 \times 10^7$，$1 \leq a_i \leq 10^9$，$1 \leq m \leq 10^5$，$1 \leq l_i \leq r_i \leq 10^9$，$0 \leq x,y,z,b_1,b_2 \lt 2^{30}$。