CSP-J 2021 第一轮 第 32 题：程序（三）：f[1]到f[100]中等于2的个数

题目

假设输入的 $x$ 是不超过 $1000$ 的自然数，完成下面的判断题和单选题：

#include <iostream>
using namespace std;

const int n = 100000;
const int N = n + 1;

int m;
int a[N], b[N], c[N], d[N];
int f[N], g[N];

void init()
{
    f[1] = g[1] = 1;
    for (int i = 2; i <= n; i++) {
        if (!a[i]) {
            b[m++] = i;
            c[i] = 1, f[i] = 2;
            d[i] = 1, g[i] = i + 1;
        }
        for (int j = 0; j < m && b[j] * i <= n; j++) {
            int k = b[j];
            a[i * k] = 1;
            if (i % k == 0) {
                c[i * k] = c[i] + 1;
                f[i * k] = f[i] / c[i * k] * (c[i * k] + 1);
                d[i * k] = d[i];
                g[i * k] = g[i] * k + d[i];
                break;
            }
            else {
                c[i * k] = 1;
                f[i * k] = 2 * f[i];
                d[i * k] = g[i];
                g[i * k] = g[i] * (k + 1);
            }
        }
    }
}

int main()
{
    init();

    int x;
    cin >> x;
    cout << f[x] << ' ' << g[x] << endl;
    return 0;
}

在执行完 init() 后，$f[1], f[2], f[3] \dots f[100]$ 中有（）个等于 2。

选项

• A. 23
• B. 24
• C. 25
• D. 26

答案

C

题解

答案是 C．25。关键在于：f[i] 表示整数 i 的正因数个数，所以 f[i] = 2 当且仅当 i 是质数。

我们看程序如何计算 f：

• i = 1：f[1] = 1，不符合条件。
• i 是质数：if (!a[i]) 成立，程序直接令 f[i] = 2。
• i 是合数：程序利用质因数分解计算它的因数个数。

具体来说，如果 \[ i=p_1^{e_1}p_2^{e_2}\cdots p_r^{e_r}, \] 那么它的正因数个数为 \[ f[i]=(e_1+1)(e_2+1)\cdots(e_r+1). \]

内层循环的两种情况正好对应这个公式：

• i % k != 0：乘上一个新的质因数 k，因数个数翻倍，即 f[i*k] = 2*f[i]。
• i % k == 0：设 i 中质因数 k 的指数为 e，乘上 k 后指数变成 e+1，于是

\[ f[i k]=\frac{f[i]}{e+1}(e+2), \] 这就是代码中除以 c[i*k] 再乘以 c[i*k]+1 的含义。

因此，只需数出 1～100 中的质数：

总共 \(8+4+5+5+3=\boxed{25}\) 个。