CSP-J 2021 第一轮 第 33 题：程序（三）：输入1000的输出

题目

假设输入的 $x$ 是不超过 $1000$ 的自然数，完成下面的判断题和单选题：

#include <iostream>
using namespace std;

const int n = 100000;
const int N = n + 1;

int m;
int a[N], b[N], c[N], d[N];
int f[N], g[N];

void init()
{
    f[1] = g[1] = 1;
    for (int i = 2; i <= n; i++) {
        if (!a[i]) {
            b[m++] = i;
            c[i] = 1, f[i] = 2;
            d[i] = 1, g[i] = i + 1;
        }
        for (int j = 0; j < m && b[j] * i <= n; j++) {
            int k = b[j];
            a[i * k] = 1;
            if (i % k == 0) {
                c[i * k] = c[i] + 1;
                f[i * k] = f[i] / c[i * k] * (c[i * k] + 1);
                d[i * k] = d[i];
                g[i * k] = g[i] * k + d[i];
                break;
            }
            else {
                c[i * k] = 1;
                f[i * k] = 2 * f[i];
                d[i * k] = g[i];
                g[i * k] = g[i] * (k + 1);
            }
        }
    }
}

int main()
{
    init();

    int x;
    cin >> x;
    cout << f[x] << ' ' << g[x] << endl;
    return 0;
}

（4 分） 当输入为 $\texttt{1000}$ 时，输出为（）。

选项

• A. 15 1340
• B. 15 2340
• C. 16 2340
• D. 16 1340

答案

C

题解

答案是 C．16 2340。

这段程序用线性筛预处理，其中两个数组的含义是：

• f[x]：\(x\) 的正因数个数。
• g[x]：\(x\) 的所有正因数之和。

可以先从质数的初始化看出来：质数 \(p\) 只有 \(1,p\) 两个正因数，所以代码设置 f[p] = 2、g[p] = p + 1。

对于本题，将输入分解质因数： \[ 1000=2^3\times5^3。 \]

① 求正因数个数

每个正因数都可以写成 \(2^a5^b\)，其中 \(a,b\) 分别可以取 \(0,1,2,3\)，因此： \[ f[1000]=(3+1)(3+1)=16。 \]

② 求正因数之和

把所有可能的正因数相加，可以写成： \[ \begin{aligned} g[1000] &=(1+2+2^2+2^3)(1+5+5^2+5^3)\\ &=15\times156\\ &=2340。 \end{aligned} \]

所以输出为： ``text 16 2340 ``