CSP-J 2025 第一轮 第 32 题：程序（三）：给 a、b 都排序后答案的变化

题目

#include <algorithm>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#define ll long long
int f[5007][5007];
int a[5007], b[5007];
int n;
int main() {
    scanf("%d", &n);
    for (int i = 1; i <= n; ++i) {
        scanf("%d", &a[i]);
    }
    for (int i = 1; i <= n; ++i) {
        scanf("%d", &b[i]);
    }
    for (int i = 1; i <= n; ++i) {
        for (int j = 1; j <= n; ++j) {
            f[i][j] = std::max(f[i][j], std::max(f[i - 1][j], f[i][j - 1]));
            if (a[i] == b[j]) {
                f[i][j] = std::max(f[i][j], f[i - 1][j - 1] + 1);
            }
        }
    }
    printf("%d\n", f[n][n]);
    return 0;
}

如果在 16 行的循环前加上以下两行：
std::sort(a+1, a+n+1);
std::sort(b+1, b+n+1);

则答案会（ ）。

选项

• A. 变大或不变
• B. 变小或不变
• C. 一定变大
• D. 不变

答案

A

题解

选 A．变大或不变。

这段程序求的是两个数组的最长公共子序列（LCS）长度。子序列可以不连续，但必须保持原来的先后顺序。

假设某个数 \(x\) 在 a 中出现 \(c_a(x)\) 次，在 b 中出现 \(c_b(x)\) 次，那么公共子序列中最多包含 \[ \min(c_a(x),c_b(x)) \] 个 \(x\)。因此，原答案一定满足： \[ \text{原答案}\le \sum_x \min(c_a(x),c_b(x)). \]

两个数组都排序后，所有数的顺序一致，每种数都可以取两边出现次数的较小值，拼成一个公共子序列。所以： \[ \text{排序后答案}=\sum_x \min(c_a(x),c_b(x))\ge \text{原答案}. \]

例如：

• 变大：a = [1, 2]，b = [2, 1]。原答案为 1，排序后为 2。
• 不变：a = [1, 2]，b = [1, 2]。排序前后答案都是 2。

因此，答案可能变大，也可能不变。