CSP-J 2025 第一轮 第 31 题：程序（三）：输出结果满足的性质

题目

#include <algorithm>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#define ll long long
int f[5007][5007];
int a[5007], b[5007];
int n;
int main() {
    scanf("%d", &n);
    for (int i = 1; i <= n; ++i) {
        scanf("%d", &a[i]);
    }
    for (int i = 1; i <= n; ++i) {
        scanf("%d", &b[i]);
    }
    for (int i = 1; i <= n; ++i) {
        for (int j = 1; j <= n; ++j) {
            f[i][j] = std::max(f[i][j], std::max(f[i - 1][j], f[i][j - 1]));
            if (a[i] == b[j]) {
                f[i][j] = std::max(f[i][j], f[i - 1][j - 1] + 1);
            }
        }
    }
    printf("%d\n", f[n][n]);
    return 0;
}

输出的答案满足的性质有（ ）。

选项

• A. 小于等于 $n$
• B. 大于等于 $0$
• C. 不一定大于等于 $1$
• D. 以上均是

答案

D

题解

答案选 D．以上均是。

这段程序求的是数组 a 和 b 的最长公共子序列长度。子序列可以不连续，但必须保持原来的先后顺序。

f[i][j] 表示 a 的前 i 个元素与 b 的前 j 个元素的最长公共子序列长度：

• max(f[i-1][j], f[i][j-1])：不选 a[i] 或不选 b[j]。
• 当 a[i] == b[j] 时，还可以将这一对元素接在之前的公共子序列后面，得到 f[i-1][j-1] + 1。

因此，输出的 f[n][n] 满足：

例如，n = 1，a = [1]，b = [2]，程序输出 0。所以 C 也成立，选 D。