CSP-S 2019 第一轮 第9题：一些数字可以颠倒过来看，例如0、1、8颠倒过来还是本身，6颠倒过来是

题目

一些数字可以颠倒过来看，例如 $0,1,8$ 颠倒过来还是本身，$6$ 颠倒过来是  $9,9$ 颠倒过来看还是 $6$,其他数字颠倒过来都不构成数字。类似的，一些多位数也可以颠倒过来看，比如 $106$ 颠倒过来是 $901$。假设某个城市的车牌只有 $5$ 位数字，每一位都可以取 $0$ 到 $9$。请问这个城市有多少个车牌倒过来恰好还是原来的车牌，并且车牌上的 $5$ 位数能被 $3$ 整除？（）

选项

• A. 40
• B. 25
• C. 30
• D. 20

答案

B

题解

选 B．25。

把车牌记作 \(abcde\)。颠倒后仍与原来相同，要求：

• \(a,e\) 和 \(b,d\) 分别配对，只能是 \(00、11、88、69、96\)，各有 \(5\) 种选择。
• 中间的 \(c\) 颠倒后必须还是自己，只能取 \(0、1、8\)。

一个数能被 \(3\) 整除，当且仅当它的各位数字之和能被 \(3\) 整除。

前两组配对确定后，\(a+b+d+e\) 就确定了。而中间可选的 \(0、1、8\)，除以 \(3\) 的余数分别为 \(0、1、2\)，所以恰好有一个选择能让五位数字之和被 \(3\) 整除。

因此共有 \[ 5\times5\times1=\boxed{25} \] 个车牌。

注意：题目说每一位都可以取 \(0\) 到 \(9\)，所以首位为 \(0\) 的车牌也要计入。