CSP-S 2019 第一轮 第31题：当 t 是 s 的子序列时，pre 数组和 suf 数组满足：对

题目

$t$ 是 $s$ 的子序列的意思是：从 $s$ 中删去若干个字符，可以得到 $t$；特别的，如果 $s=t$，那么 $t$ 也是 $s$ 的子序列；空串是任何串的子序列。例如：$\texttt{acd}$ 是 $\texttt{abcde}$ 的子序列，$\texttt{acd}$ 是 $\texttt{acd}$ 的子序列，但 $\texttt{adc}$ 不是 $\texttt{abcde}$ 的子序列。

$s[x..y]$ 表示 $s[x] \cdots s[y]$ 共 $y-x+1$ 个字符构成的字符串，若 $x>y$ 则 $s[x..y]$ 是空串。$t[x..y]$ 同理。

#include <iostream>
#include <string>
using namespace std;
const int max1 = 202;
string s, t;
int pre[max1], suf[max1];

int main() {
    cin >> s >> t;
    int slen = s.length(), tlen = t.length();

    for (int i = 0, j = 0; i < slen; ++i) {
        if (j < tlen && s[i] == t[j]) ++j;
        pre[i] = j; // t[0..j-1] 是 s[0..i] 的子序列
    }

    for (int  i = slen - 1 , j = tlen - 1; i >= 0; --i) {
        if(j >= 0 && s[i] == t [j]) --j;
        suf[i]= j; // t[j+1..tlen-1] 是 s[i..slen-1] 的子序列
    }

    suf[slen] = tlen -1;
    int ans = 0;
    for (int i = 0, j = 0, tmp = 0; i <= slen; ++i){
        while(j <= slen && tmp >= suf[j] + 1) ++j;
        ans = max(ans, j - i - 1);
        tmp = pre[i];
    }
    cout << ans << endl;
    return 0;
}

提示：

- $t[0\dots pre[i]-1]$ 是 $s[0\dots i]$ 的子序列；
- $t[suf[i]+1\dots tlen-1]$ 是 $ s[i\dots slen-1]$ 的子序列。

（2分）当 $t$ 是 $s$ 的子序列时，pre 数组和 suf 数组满足：对任意 $0 \leq i < slen, pre[i] > suf[i + 1] + 1$。	（）

选项

• T. 正确
• F. 错误

答案

F

题解

选 F（错误）。题目中的严格大于 > 不一定成立，正确关系应是 pre[i] >= suf[i + 1] + 1。

举个反例：s = "abc"，t = "abc"，显然 t 是 s 的子序列。取 i = 0：

• 从左往右，s[0..0] = "a" 能匹配 t 的第一个字符，所以 pre[0] = 1。
• 从右往左，s[1..2] = "bc" 能匹配 t 的后两个字符，匹配后 j = 0，所以 suf[1] = 0。

代入题目中的不等式，得到： \[ 1 > 0 + 1 \] 显然不成立。

理解时注意：pre[i] 是左边能匹配的字符数，suf[i+1] + 1 是右边匹配完后，前面还剩下的字符数。左边能补齐这些字符即可，允许恰好相等，不要求严格大于。