CSP-S 2023 第一轮 第31题：设a数组中最大值减最小值加1为A，则f函数的时间复杂度为（）

题目

#include <vector>
#include <algorithm>
#include <iostream>

using namespace std;

bool f0(vector<int> &a, int m, int k) {
    int s = 0;
    for (int i = 0, j = 0; i < a.size(); i++) {
        while (a[i] - a[j] > m) j++;
        s += i - j;
    }
    return s >= k;
}

int f(vector<int> &a, int k) {
    sort(a.begin(), a.end());

    int g = 0;
    int h = a.back() - a[0];
    while (g < h) {
        int m = g + (h - g) / 2;
        if (f0(a, m, k)) {
            h = m;
        }
        else {
            g = m + 1;
        }
    }

    return g;
}

int main() {
    int n, k;
    cin >> n >> k;
    vector<int> a(n, 0);
    for (int i = 0; i < n; i++) {
        cin >> a[i];
    }
    cout << f(a, k) << endl;
    return 0;
}

假设输入总是合法的且 $1 \le a_i \le 10^8, n \le 10000, 1 \le k \le \dfrac {n(n-1)} 2$，完成下面的判断题和单选题:

设 $a$ 数组中最大值减最小值加 $1$ 为 $A$，则 f 函数的时间复杂度为（）。

选项

• A. $O(n \log A)$
• B. $O(n^2 \log A)$
• C. $O(n \log (nA))$
• D. $O(n \log n)$

答案

C

题解

答案是 C：\(O(n\log(nA))\)。把 f 分成排序和二分两部分来看。

1. 排序：\(O(n\log n)\)

``cpp sort(a.begin(), a.end()); ``

2. 每次调用 f0：\(O(n)\)

虽然 for 里面套了 while，但不能直接判断为 \(O(n^2)\)：

• i 从 \(0\) 遍历到 \(n-1\)，共移动 \(n\) 次。
• j 在整个循环中只向右移动，不会在每轮 for 中重新归零，总共最多移动 \(n-1\) 次。

所以一次 f0 的时间复杂度是 \(O(n)\)。这就是双指针的分析方法：看指针的总移动次数。

3. 二分查找：\(O(n\log A)\)

初始搜索区间是 \[ [0,\max(a)-\min(a)]=[0,A-1], \] 共有 \(A\) 个候选值。每轮区间约缩小一半，因此最多进行 \(O(\log A)\) 轮，每轮调用一次 f0。

合起来： \[ O(n\log n+n\log A) =O\bigl(n(\log n+\log A)\bigr) =\boxed{O(n\log(nA))}. \]

选项 A 漏掉了排序的开销；题目没有保证 \(A\ge n\)（数组元素可以重复），所以不能直接把排序开销省略。