CSP-S 2023 第一轮 第41题：完善程序（第 20 题）第 3 空

题目

（最大值之和）给定整数序列 $a_0,\cdots,a_{n-1}$，求该序列所有非空连续子序列的最大值之和。上述参数满足 $1\le n\le 10^5$ 和 $1\le a_i\le 10^8$。

一个序列的非空连续子序列可以用两个下标 $l$ 和 $r$（其中$0 \le l \le r < n$）表示，对应的序列为 $a_l,a_{l+1},\cdots,a_r$。两个非空连续子序列不同，当且仅当下标不同。

例如，当原序列为 $[1,2,1,2]$ 时，要计算子序列 $[1]$、$[2]$、$[1]$、$[2]$、$[1,2]$、$[2,1]$、$[1,2]$、$[1,2,1]$、$[2,1,2]$、$[1,2,1,2]$ 的最大值之和，答案为 $18$。注意 $[1,1]$ 和 $[2,2]$ 虽然是原序列的子序列，但不是连续子序列，所以不应该被计算。另外，注意其中有一些值相同的子序列，但由于他们在原序列中的下标不同，属于不同的非空连续子序列，所以会被分别计算。

解决该问题有许多算法，以下程序使用分治算法，时间复杂度 $O(n\log n)$。

试补全程序。

#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <vector>

const int MAXN = 100000;

int n;
int a[MAXN];
long long ans;

void solve(int l, int r) {
    if (l + 1 == r) {
        ans += a[l];
        return;
    }
    int mid = (l + r) >> 1;
    std::vector<int> pre(a + mid, a + r);
    for (int i = 1; i < r - mid; ++i) ①;
    std::vector<long long> sum(r - mid + 1);
    for (int i = 0; i < r - mid; ++i)
        sum[i + 1] = sum[i] + pre[i];
    for (int i = mid - 1, j = mid, max = 0; i >= l; --i) {
        while (j < r && ②) ++j;
        max = std::max(max, a[i]);
        ans += ③;
        ans += ④;
    }
    solve(l, mid);
    solve(mid, r);
}

int main() {
    std::cin >> n;
    for (int i = 0; i < n; ++i)
        std::cin >> a[i];
    ⑤;
    std::cout << ans << std::endl;
    return 0;
}

③处应填（）

选项

• A. (long long)(j - mid) * max
• B. (long long)(j - mid) * (i - 1) * max
• C. sum[j - mid]
• D. sum[j - mid] * (i - 1)

答案

A

题解

答案是 **A：(long long)(j - mid) * max**。

分治时，当前循环负责计算跨过中点 mid 的连续子序列：左端点为 i，右端点在 [mid, r) 中。

执行 max = std::max(max, a[i]); 后，max 表示左半段 a[i..mid-1] 的最大值。利用右半段的前缀最大值 pre，指针 j 将右端点分成两类：

• 右端点在 [mid, j)：右侧最大值不超过 max，所以整个子序列的最大值都是 max。共有 j - mid 个，贡献为 **(j - mid) * max**，对应第③空。
• 右端点在 [j, r)：最大值由右侧决定，用前缀和计算贡献，对应第④空。

注意，循环中左端点 i 已经固定，因此不需要再乘与 i 有关的数量。强制转换为 long long 是为了避免整数乘法溢出。