CSP-S 2023 第一轮 第42题：完善程序（第 20 题）第 4 空

题目

（最大值之和）给定整数序列 $a_0,\cdots,a_{n-1}$，求该序列所有非空连续子序列的最大值之和。上述参数满足 $1\le n\le 10^5$ 和 $1\le a_i\le 10^8$。

一个序列的非空连续子序列可以用两个下标 $l$ 和 $r$（其中$0 \le l \le r < n$）表示，对应的序列为 $a_l,a_{l+1},\cdots,a_r$。两个非空连续子序列不同，当且仅当下标不同。

例如，当原序列为 $[1,2,1,2]$ 时，要计算子序列 $[1]$、$[2]$、$[1]$、$[2]$、$[1,2]$、$[2,1]$、$[1,2]$、$[1,2,1]$、$[2,1,2]$、$[1,2,1,2]$ 的最大值之和，答案为 $18$。注意 $[1,1]$ 和 $[2,2]$ 虽然是原序列的子序列，但不是连续子序列，所以不应该被计算。另外，注意其中有一些值相同的子序列，但由于他们在原序列中的下标不同，属于不同的非空连续子序列，所以会被分别计算。

解决该问题有许多算法，以下程序使用分治算法，时间复杂度 $O(n\log n)$。

试补全程序。

#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <vector>

const int MAXN = 100000;

int n;
int a[MAXN];
long long ans;

void solve(int l, int r) {
    if (l + 1 == r) {
        ans += a[l];
        return;
    }
    int mid = (l + r) >> 1;
    std::vector<int> pre(a + mid, a + r);
    for (int i = 1; i < r - mid; ++i) ①;
    std::vector<long long> sum(r - mid + 1);
    for (int i = 0; i < r - mid; ++i)
        sum[i + 1] = sum[i] + pre[i];
    for (int i = mid - 1, j = mid, max = 0; i >= l; --i) {
        while (j < r && ②) ++j;
        max = std::max(max, a[i]);
        ans += ③;
        ans += ④;
    }
    solve(l, mid);
    solve(mid, r);
}

int main() {
    std::cin >> n;
    for (int i = 0; i < n; ++i)
        std::cin >> a[i];
    ⑤;
    std::cout << ans << std::endl;
    return 0;
}

④处应填（）

选项

• A. (long long)(r - j) * max
• B. (long long)(r - j) * (mid - i) * max
• C. sum[r - mid] - sum[j - mid]
• D. (sum[r - mid] - sum[j - mid]) * (mid - i)

答案

C

题解

选 C：sum[r - mid] - sum[j - mid]。

分治时，左右两半内部的子区间交给递归计算；这里的循环负责计算跨过 mid 的子区间。

固定左端点 i，设：

• max 是左侧 a[i..mid-1] 的最大值；
• pre[k] 是右侧 a[mid..mid+k] 的最大值；
• sum 是 pre 的前缀和。

由于 pre 单调不减，可以用 j 将右端点分成两部分：

因此，④需要累加： \[ pre[j-mid]+\cdots+pre[r-mid-1] = sum[r-mid]-sum[j-mid]. \]

不需要乘 mid - i，因为这一轮的左端点已经固定为 i，每个右端点只对应一个子区间。