CSP-S 2025 第一轮 第13题：1 到 1000 之间，不能被 2,3,5 中任意一个数整除的整数有多少个？

题目

$1$ 到 $1000$ 之间，不能被 $2,3,5$ 中任意一个数整除的整数有多少个？

选项

• A. $266$
• B. $267$
• C. $333$
• D. $734$

答案

A

题解

用容斥原理：先算出能被 $2,3,5$ 中至少一个数整除的整数个数，再用总数减去它。

在 $1$ 到 $1000$ 中：

• $2,3,5$ 的倍数分别有 $500,333,200$ 个。
• 同时是其中两个数的倍数，即 $6,10,15$ 的倍数，分别有 $166,100,66$ 个。
• 同时是这三个数的倍数，即 $30$ 的倍数，有 $33$ 个。

直接相加会重复计数，因此能被至少一个数整除的共有 \[ 500+333+200-166-100-66+33=734\text{ 个}. \]

所以，三个数都不能整除的整数有 \[ 1000-734=\boxed{266}\text{ 个}. \]

选 A。