CSP-S 2026 第一轮 第 39 题：标准答案：①处应填

题目

给定 $n$ 名学生参加一场考试，考试共有 $m$ 道选择题，每道题只有 A、B 两个选项。

第 $i$ 名学生的作答为一个长度为 $m$ 的字符串。若最终公布的标准答案与该学生在某道题上的作答相同，则该学生在这道题上得 1 分，否则不得分。记第 $i$ 名学生最终得到的总分为 $r_{i}$。

每名学生还有一个预期得分 $x_{i}$。现在需要构造一份标准答案，使

尽可能大。

数据满足 $1 \le n \le 18$，$1 \le m \le 300$，$0 \le x_{i}\le m$。

提示：可以换一个角度处理 $\sum_{i=1}^{n}∣r_{i}- x_{i}∣$，把它写成更易优化的形式；对正整数 $x$，__builtin_ctzll(x) 返回 $x$ 的二进制表示末尾连续 0 的个数；__builtin_popcountll(x) 返回 $x$ 的二进制表示中 1 的个数。

以下程序构造出一组满足要求的标准答案。请补全程序。

#include <cstdlib>
#include <iostream>
#include <string>
#include <vector>
using namespace std;
typedef long long ll;
typedef unsigned long long ull;
int main() {
    int n, m;
    cin >> n >> m;
    vector<ll> x(n), c(n);
    for (int i = 0; i < n; i++) {
        cin >> x[i];
        c[i] = /* ① */;
    }
    vector<string> a(n);
    for (int i = 0; i < n; i++)
        cin >> a[i];
    vector<int> s(n, -1);
    vector<ll> q(m, 0);
    ll C = 0, S = 0;
    for (int i = 0; i < n; i++) {
        C -= c[i];
        for (int j = 0; j < m; j++) {
            if (a[i][j] == 'A') q[j]--;
            else q[j]++;
        }
    }
    for (int j = 0; j < m; j++) S += abs(q[j]);
    ll ans = C + S;
    ull best = 0, lst = 0;
    for (ull mask = 1; mask < (1ULL << n); mask++) {
        ull g = /* ② */;
        ull d = g ^ lst;
        int k = /* ③ */;
        C -= /* ④ */;
        for (int j = 0; j < m; j++) {
            ll old = q[j];
            int v = (a[k][j] == 'A' ? 1 : -1);
            q[j] -= 2ll * s[k] * v;
            S += abs(q[j]) - abs(old);
        }
        s[k] = -s[k];
        if (C + S > ans) {
            ans = C + S;
            best = g;
        }
        lst = g;
    }
    for (int i = 0; i < n; i++) {
        if ((best >> i) & 1) s[i] = 1;
        else s[i] = -1;
    }
    string res(m, 'A');
    for (int j = 0; j < m; j++) {
        ll v = 0;
        for (int i = 0; i < n; i++) {
            if (a[i][j] == 'A') v += s[i];
            else v -= s[i];
        }
        if (/* ⑤ */) res[j] = 'A';
        else res[j] = 'B';
    }
    cout << res << endl;
    return 0;
}

①处应填（ ）。

选项

• A. 2 * x[i] - m
• B. -m + 2 * x[i] + 1
• C. m - 2 * x[i]
• D. m + 2 * x[i]

答案

C

题解

选 **C：m - 2 * x[i]**。

关键是把“答对得 1 分”改写成便于计算的形式。

设学生 \(i\) 在第 \(j\) 题的答案为 \(a_{ij}\)：A 对应 \(1\)，B 对应 \(-1\)。标准答案同样记为 \(b_j\in\{1,-1\}\)。

那么两者相同的时候 \(a_{ij}b_j=1\)，不同的时候为 \(-1\)，所以 \[ r_i=\sum_{j=1}^m\frac{1+a_{ij}b_j}{2}, \] 从而 \[ 2(r_i-x_i)=\underbrace{m-2x_i}_{c_i}+\sum_{j=1}^m a_{ij}b_j. \]

接着利用提示中的关键变形： \[ |z|=\max_{s\in\{-1,1\}}sz. \] 于是原目标乘以 \(2\) 后，可以写成 \[ 2\sum_i|r_i-x_i| =\max_{s_1,\dots,s_n\in\{-1,1\}} \left[ \sum_i s_ic_i+ \sum_j b_j\left(\sum_i s_ia_{ij}\right) \right]. \]

固定所有 \(s_i\) 后，每道题的标准答案可以独立选择。 令 \[ C=\sum_i s_ic_i,\qquad q_j=\sum_i s_ia_{ij}, \] 选择 \(b_j\) 与 \(q_j\) 同号，就能使目标达到 \[ C+\sum_j|q_j|. \] 这正是代码维护的 C + S。

代码初始令所有 s[i] = -1，因此用 C -= c[i] 初始化，与上面的推导一致。所以①应填：

``cpp m - 2 * x[i] ``