CSP-S 2026 第一轮 第 40 题：标准答案：②处应填

题目

给定 $n$ 名学生参加一场考试，考试共有 $m$ 道选择题，每道题只有 A、B 两个选项。

第 $i$ 名学生的作答为一个长度为 $m$ 的字符串。若最终公布的标准答案与该学生在某道题上的作答相同，则该学生在这道题上得 1 分，否则不得分。记第 $i$ 名学生最终得到的总分为 $r_{i}$。

每名学生还有一个预期得分 $x_{i}$。现在需要构造一份标准答案，使

尽可能大。

数据满足 $1 \le n \le 18$，$1 \le m \le 300$，$0 \le x_{i}\le m$。

提示：可以换一个角度处理 $\sum_{i=1}^{n}∣r_{i}- x_{i}∣$，把它写成更易优化的形式；对正整数 $x$，__builtin_ctzll(x) 返回 $x$ 的二进制表示末尾连续 0 的个数；__builtin_popcountll(x) 返回 $x$ 的二进制表示中 1 的个数。

以下程序构造出一组满足要求的标准答案。请补全程序。

#include <cstdlib>
#include <iostream>
#include <string>
#include <vector>
using namespace std;
typedef long long ll;
typedef unsigned long long ull;
int main() {
    int n, m;
    cin >> n >> m;
    vector<ll> x(n), c(n);
    for (int i = 0; i < n; i++) {
        cin >> x[i];
        c[i] = /* ① */;
    }
    vector<string> a(n);
    for (int i = 0; i < n; i++)
        cin >> a[i];
    vector<int> s(n, -1);
    vector<ll> q(m, 0);
    ll C = 0, S = 0;
    for (int i = 0; i < n; i++) {
        C -= c[i];
        for (int j = 0; j < m; j++) {
            if (a[i][j] == 'A') q[j]--;
            else q[j]++;
        }
    }
    for (int j = 0; j < m; j++) S += abs(q[j]);
    ll ans = C + S;
    ull best = 0, lst = 0;
    for (ull mask = 1; mask < (1ULL << n); mask++) {
        ull g = /* ② */;
        ull d = g ^ lst;
        int k = /* ③ */;
        C -= /* ④ */;
        for (int j = 0; j < m; j++) {
            ll old = q[j];
            int v = (a[k][j] == 'A' ? 1 : -1);
            q[j] -= 2ll * s[k] * v;
            S += abs(q[j]) - abs(old);
        }
        s[k] = -s[k];
        if (C + S > ans) {
            ans = C + S;
            best = g;
        }
        lst = g;
    }
    for (int i = 0; i < n; i++) {
        if ((best >> i) & 1) s[i] = 1;
        else s[i] = -1;
    }
    string res(m, 'A');
    for (int j = 0; j < m; j++) {
        ll v = 0;
        for (int i = 0; i < n; i++) {
            if (a[i][j] == 'A') v += s[i];
            else v -= s[i];
        }
        if (/* ⑤ */) res[j] = 'A';
        else res[j] = 'B';
    }
    cout << res << endl;
    return 0;
}

②处应填（ ）。

选项

• A. mask | (mask >> 1)
• B. mask ^ (mask >> 1)
• C. mask & (mask >> 1)
• D. mask ^ ((mask >> 1) + 1)

答案

B

题解

②应选 B：mask ^ (mask >> 1)，这是格雷码的生成公式。

关键看后面的代码：

``cpp ull d = g ^ lst; int k = /* ③ */; ``

以及：

``cpp s[k] = -s[k]; ``

程序每次只翻转一个学生对应的符号 s[k]。因此，枚举的相邻两个状态必须恰好只有一个二进制位不同，这样才能只更新第 k 名学生带来的影响。

普通二进制枚举不满足这个条件。例如：

``text 011 → 100 ``

一次改变了三个位置。

而格雷码满足要求，其生成方式为：

``cpp g = mask ^ (mask >> 1); ``

例如，n = 3 时：

``text mask g（格雷码） 000 000 001 001 010 011 011 010 100 110 101 111 110 101 111 100 ``

相邻格雷码都只改变一位，所以：

``cpp ull d = g ^ lst; // 只有发生变化的那一位是 1 int k = __builtin_ctzll(d); // 找到这一位的位置 ``

就能确定要翻转哪个 s[k]。

至于为什么要枚举符号，来自题目提示中的恒等式：

\[ |r_i-x_i|=\max_{s_i\in\{-1,1\}}s_i(r_i-x_i). \]

因此，可以枚举每个学生的符号 \(s_i\)，把绝对值之和转化为线性表达式，再对每道题独立选择 A 或 B。格雷码让每次只需更新一名学生的影响，从而将枚举部分的复杂度从 \(O(nm2^n)\) 降为 \(O(m2^n)\)。