CSP-S 2026 第一轮 第 41 题：标准答案：③处应填

题目

给定 $n$ 名学生参加一场考试，考试共有 $m$ 道选择题，每道题只有 A、B 两个选项。

第 $i$ 名学生的作答为一个长度为 $m$ 的字符串。若最终公布的标准答案与该学生在某道题上的作答相同，则该学生在这道题上得 1 分，否则不得分。记第 $i$ 名学生最终得到的总分为 $r_{i}$。

每名学生还有一个预期得分 $x_{i}$。现在需要构造一份标准答案，使

尽可能大。

数据满足 $1 \le n \le 18$，$1 \le m \le 300$，$0 \le x_{i}\le m$。

提示：可以换一个角度处理 $\sum_{i=1}^{n}∣r_{i}- x_{i}∣$，把它写成更易优化的形式；对正整数 $x$，__builtin_ctzll(x) 返回 $x$ 的二进制表示末尾连续 0 的个数；__builtin_popcountll(x) 返回 $x$ 的二进制表示中 1 的个数。

以下程序构造出一组满足要求的标准答案。请补全程序。

#include <cstdlib>
#include <iostream>
#include <string>
#include <vector>
using namespace std;
typedef long long ll;
typedef unsigned long long ull;
int main() {
    int n, m;
    cin >> n >> m;
    vector<ll> x(n), c(n);
    for (int i = 0; i < n; i++) {
        cin >> x[i];
        c[i] = /* ① */;
    }
    vector<string> a(n);
    for (int i = 0; i < n; i++)
        cin >> a[i];
    vector<int> s(n, -1);
    vector<ll> q(m, 0);
    ll C = 0, S = 0;
    for (int i = 0; i < n; i++) {
        C -= c[i];
        for (int j = 0; j < m; j++) {
            if (a[i][j] == 'A') q[j]--;
            else q[j]++;
        }
    }
    for (int j = 0; j < m; j++) S += abs(q[j]);
    ll ans = C + S;
    ull best = 0, lst = 0;
    for (ull mask = 1; mask < (1ULL << n); mask++) {
        ull g = /* ② */;
        ull d = g ^ lst;
        int k = /* ③ */;
        C -= /* ④ */;
        for (int j = 0; j < m; j++) {
            ll old = q[j];
            int v = (a[k][j] == 'A' ? 1 : -1);
            q[j] -= 2ll * s[k] * v;
            S += abs(q[j]) - abs(old);
        }
        s[k] = -s[k];
        if (C + S > ans) {
            ans = C + S;
            best = g;
        }
        lst = g;
    }
    for (int i = 0; i < n; i++) {
        if ((best >> i) & 1) s[i] = 1;
        else s[i] = -1;
    }
    string res(m, 'A');
    for (int j = 0; j < m; j++) {
        ll v = 0;
        for (int i = 0; i < n; i++) {
            if (a[i][j] == 'A') v += s[i];
            else v -= s[i];
        }
        if (/* ⑤ */) res[j] = 'A';
        else res[j] = 'B';
    }
    cout << res << endl;
    return 0;
}

③处应填（ ）。

选项

• A. __builtin_ctzll(d) + 1
• B. __builtin_popcountll(d)
• C. __builtin_ctzll(g)
• D. __builtin_ctzll(d)

答案

D

题解

③处应填 D. __builtin_ctzll(d)。

这里的关键是：程序每次只翻转一个学生对应的符号 s[k]，需要找出这个学生的下标 k。

②处生成的是格雷码： ``cpp ull g = mask ^ (mask >> 1); `` 格雷码的特点是：相邻两个格雷码恰好有一个二进制位不同。

lst 是上一次的格雷码，因此： ``cpp ull d = g ^ lst; ` 异或后，d 只有发生变化的那一位为 1。如果改变的是第 k 位（从最低位起，下标从 0 开始），那么： \[ d=2^k \] 它的二进制末尾恰好有 k 个连续的 0，所以： `cpp int k = __builtin_ctzll(d); ``

例如： ``text lst = 0011 g = 0111 d = 0100 ` 改变的是第 2 位，而 __builtin_ctzll(0b0100) = 2，对应翻转 s[2]`。

其他选项：

• A：多加了 1，而数组下标从 0 开始。
• B：d 只有一个 1，所以结果始终为 1。
• C：统计的是 g 的末尾零数，无法确定哪一位发生了变化。