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初等数论真题练习（共 66 题）

第5章 数学与其他 · 入门+提高级考点 · 覆盖 CSP-J / CSP-S / NOIP 普及与提高组历年真题 · 免费在线练习

「初等数论」是信息学奥赛初赛的核心考点之一。本页汇集该考点下全部 66 道历年真题，每题提供答案与深度题解，可按年份逐卷练习，也可以在页面载入后直接在线作答。

NOIP 提高 2018 第一轮（1 题）

  1. 第 21 题 阅读程序：统计满足 i²≡1 (mod x) 的个数 · 阅读程序

NOIP 提高 2014 第一轮（1 题）

  1. 第 23 题 阅读程序：统计数位和能被 3 整除的数的个数 · 阅读程序

NOIP 提高 2013 第一轮（1 题）

  1. 第 24 题 阅读程序：统计区间内 u 或 v 的倍数个数 · 阅读程序

NOIP 提高 2012 第一轮（1 题）

  1. 第 24 题 阅读程序：欧几里得 gcd 统计约数个数 · 阅读程序

NOIP 普及 2018 第一轮（7 题）

  1. 第 13 题 10000 以内与 10000 互质的正整数个数 · 单项选择
  2. 第 22 题 统计模 x 平方等于 1 的整数个数 · 阅读程序
  3. 第 25 题 枚举约数并求两两最大公约数之和：第 1 空 · 完善程序
  4. 第 26 题 枚举约数并求两两最大公约数之和：第 2 空 · 完善程序
  5. 第 27 题 枚举约数并求两两最大公约数之和：第 3 空 · 完善程序
  6. 第 28 题 枚举约数并求两两最大公约数之和：第 4 空 · 完善程序
  7. 第 29 题 枚举约数并求两两最大公约数之和：第 5 空 · 完善程序

NOIP 普及 2016 第一轮（1 题）

  1. 第 25 题 统计 0 到 99 中模 8 余 1 的数 · 阅读程序

NOIP 普及 2014 第一轮（1 题）

  1. 第 26 题 筛除合数并统计 30 以内素数个数 · 阅读程序

NOIP 普及 2013 第一轮（2 题）

  1. 第 15 题 欧几里得算法计算最大公约数 · 单项选择
  2. 第 24 题 统计区间内指定整数的倍数 · 阅读程序

NOIP 普及 2012 第一轮（1 题）

  1. 第 24 题 统计整数 18 的约数个数 · 阅读程序

NOIP 普及 2010 第一轮（5 题）

  1. 第 27 题 哥德巴赫猜想验证：第 1 空 · 完善程序
  2. 第 28 题 哥德巴赫猜想验证：第 2 空 · 完善程序
  3. 第 29 题 哥德巴赫猜想验证：第 3 空 · 完善程序
  4. 第 30 题 哥德巴赫猜想验证：第 4 空 · 完善程序
  5. 第 31 题 哥德巴赫猜想验证：第 5 空 · 完善程序

CSP-S 2026 第一轮（1 题）

  1. 第 5 题 3^2026mod100 的值是 · 单项选择

CSP-S 2024 第一轮（1 题）

  1. 第9题 考虑一个自然数n以及一个模数m,你需要计算n的逆元(即n在模m意义下的乘 · 单项选择

CSP-S 2023 第一轮（5 题）

  1. 第14题 十六进制反复求数位和 · 单项选择
  2. 第22题 将第15行删去，输出不变。（） · 阅读程序·判断
  3. 第23题 当输入为“10”时，输出的第一行大于第二行。（） · 阅读程序·判断
  4. 第24题 （2分）当输入为“1000”时，输出的第一行与第二行相等。（ · 阅读程序·判断
  5. 第27题 输入为“5”时，输出的第二行为（ · 阅读程序·单选

CSP-S 2021 第一轮（1 题）

  1. 第11题 有如下递归代码 · 单项选择

CSP-S 2020 第一轮（1 题）

  1. 第10题 一个班学生分组做游戏，如果每组三人就多两人，每组五人就多三人，每组 · 单项选择

CSP-J 2026 第一轮（1 题）

  1. 第 9 题 满足 1≤n≤100 且 gcd(n,60)=6 的正整数 n 共有 · 单项选择

CSP-J 2025 第一轮（4 题）

  1. 第 17 题 程序（一）：删去 gcd(i,k)==1 是否影响结果 · 阅读程序
  2. 第 19 题 程序（一）：把 gcd(b,a%b) 改成 gcd(a,a%b) 可能出 · 阅读程序
  3. 第 20 题 程序（一）：输入为 8 时的输出 · 阅读程序
  4. 第 21 题 程序（一）：调用 gcd(36,42) 的返回值 · 阅读程序

CSP-J 2024 第一轮（5 题）

  1. 第 16 题 程序（一）：输入10时两个输出是否为4和17 · 阅读程序
  2. 第 17 题 程序（一）：把判断条件改成 i<=n/2 是否会改变 countPrim · 阅读程序
  3. 第 18 题 程序（一）：sumPrimes 是否计算 2 到 n 之间所有素数之和 · 阅读程序
  4. 第 19 题 程序（一）：输入50时 sumPrimes(50) 的输出 · 阅读程序
  5. 第 20 题 程序（一）：把判断上界改成 i<=n 后输入10的结果 · 阅读程序

CSP-J 2023 第一轮（6 题）

  1. 第 27 题 程序（三，因子平方和）：solve2 是否计算所有因子平方和 · 阅读程序
  2. 第 28 题 程序（三）：特判 i==n/i 的作用 · 阅读程序
  3. 第 29 题 程序（三）：n为质数时 solve2(n) 的值 · 阅读程序
  4. 第 30 题 程序（三）：n=p²（p为质数）时 solve2(n) 的值 · 阅读程序
  5. 第 31 题 程序（三）：两个输出值的差值范围 · 阅读程序
  6. 第 32 题 程序（三）：输入5时的输出 · 阅读程序

CSP-J 2022 第一轮（5 题）

  1. 第 35 题 枚举因数：①处应填 · 完善程序
  2. 第 36 题 枚举因数：②处应填 · 完善程序
  3. 第 37 题 枚举因数：③处应填 · 完善程序
  4. 第 38 题 枚举因数：④处应填 · 完善程序
  5. 第 39 题 枚举因数：⑤处应填 · 完善程序

CSP-J 2021 第一轮（5 题）

  1. 第 28 题 程序（三，线性筛求约数个数与约数和）：删去f[1]=g[1]=1是否影响 · 阅读程序
  2. 第 29 题 程序（三）：f[i]/c[i k]是否可能出现向下取整 · 阅读程序
  3. 第 30 题 程序（三）：f和g数组是否单调 · 阅读程序
  4. 第 32 题 程序（三）：f[1]到f[100]中等于2的个数 · 阅读程序
  5. 第 33 题 程序（三）：输入1000的输出 · 阅读程序

CSP-J 2020 第一轮（5 题）

  1. 第 34 题 质因数分解：①处应填 · 完善程序
  2. 第 35 题 质因数分解：②处应填 · 完善程序
  3. 第 36 题 质因数分解：③处应填 · 完善程序
  4. 第 37 题 质因数分解：④处应填 · 完善程序
  5. 第 38 题 质因数分解：⑤处应填 · 完善程序

CSP-J 2019 第一轮（5 题）

  1. 第 9 题 100以内最大的素数 · 单项选择
  2. 第 10 题 求最大公约数 · 单项选择
  3. 第 18 题 程序（一）：把i<=n改成i i<=n是否影响结果 · 阅读程序
  4. 第 20 题 程序（一）：长度18时最多多少字符不同 · 阅读程序
  5. 第 21 题 程序（一）：多少长度时恰好最多36个字符不同 · 阅读程序

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